在四邊形中ABCD，點E為AB邊上的一點，點F為對角線BD上的一點，且EF⊥AB．（1）若四邊形ABCD為正方...

問題詳情：

在四邊形中ABCD，點E為AB邊上的一點，點F為對角線BD上的一點，且EF⊥AB．

（1）若四邊形ABCD為正方形．

①如圖1，請直接寫出AE與DF的數量關係　DF=AE　；

②將△EBF繞點B逆時針旋轉到圖2所示的位置，連接AE，DF，猜想AE與DF的數量關係並説明理由；

（3）如圖3，若四邊形ABCD為矩形，BC=mAB，其它條件都不變，將△EBF繞點B順時針旋轉α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'，連接AE'，DF'，請在圖3中畫出草圖，並直接寫出AE'與DF'的數量關係．

【回答】

解：（1）①∵四邊形ABCD為正方形，

∴△ABD為等腰直角三角形，

∴BF=AB，

∵EF⊥AB，

∴△BEF為等腰直角三角形，

BF=BE，

∴BD﹣BF=AB﹣BE，

即DF=AE；

故*為DF=AE；

②DF=AE．理由如下：

∵△EBF繞點B逆時針旋轉到圖2所示的位置，

∴∠ABE=∠DBF，

∵=，=，

∴=，

∴△ABE∽△DBF，

∴==，

即DF=AE；

（2）如圖3，∵四邊形ABCD為矩形，

∴AD=BC=mAB，

∴BD==AB，

∵EF⊥AB，

∴EF∥AD，

∴△BEF∽△BAD，

∴=，

∴==，

∵△EBF繞點B順時針旋轉α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'，

∴∠ABE′=∠DBF′，BE′=BE，BF′=BF，

∴==，

∴△ABE′∽△DBF′，

∴==，

即DF′=AE′．

【點評】本題考查了相似形的綜合題：熟練掌握旋轉的*質、矩形和正方形的*質；靈活應用相似三角形的判定和*質，會利用相似比表示線段之間的關係．

知識點：各地中考

題型：綜合題