（2010•順義區二模）在平面直角座標系xOy中，A、B為反比例函數（x＞0）的圖象上兩點，A點的橫座標與B點...

問題詳情：

（2010•順義區二模）在平面直角座標系xOy中，A、B為反比例函數（x＞0）的圖象上兩點，A點的橫座標與B點的縱座標均為1，將（x＞0）的圖象繞原點O順時針旋轉90°，A點的對應點為A′，B點的對應點為B′．（1）求旋轉後的圖象解析式；（2）求A′、B′點的座標；（3）連接AB′、動點M從A點出發沿線段AB'以每秒1個單位長度的速度向終點B′運動；動點N同時從B′點出發沿線段B′A′以每秒1個單位長度的速度向終點A′運動，當其中一個點停止運動時另一個點也隨之停止運動．設運動的時間為t秒，試探究：是否存在使△MNB'為等腰直角三角形的t值，若存在，求出t的值；若不存在，説明理由．
試題*
練習冊*
在線課程
【*】分析：（1）首先把x=1代入反比例函數（x＞0）的解析式，求出對應的y值，得到A點座標，然後由旋轉的*質得出∠AOA′=90°，OA=OA′，如果分別過A、A′作AM⊥y軸於M，A′N⊥x軸於N，連接OA，OA′，易*△OAM≌△OA′N，得到A′的座標，從而求出旋轉後的圖象解析式；（2）上問已經求出A′的座標，同樣求出點B′的座標；（3）首先運用待定係數法求出直線A′B′的解析式，由斜率k的值可知∠A′B′A=45°．然後假設存在使△MNB'為等腰直角三角形的t值，那麼分兩種情況討論：①∠B′NM=90°；②∠B′MN=90°．針對每一種情況，都可以利用等腰直角三角形中斜邊是直角邊的倍列出方程，從而求出結果．解答：解：（1）∵A為反比例函數（x＞0）的圖象上的點，A點的橫座標為1，∴A點座標為（1，4）．分別過A、A′作AM⊥y軸於M，A′N⊥x軸於N，連接OA，OA′．∵將（x＞0）的圖象繞原點O順時針旋轉90°，A點的對應點為A'，∴∠AOA′=90°，OA=OA′．在△OAM與△OA′N中，∠AOM=∠A′ON=90°-∠AON，∠AMO=∠A′NO=90°，OA=OA′，∴△OAM≌△OA′N，∴OM=ON=4，AM=A′N=1，∴A′的座標為（4，-1），∴旋轉後的圖象解析式為y=-；（2）∵B為反比例函數（x＞0）的圖象上兩點，B點的縱座標為1，∴B（4，1），又∵將（x＞0）的圖象繞原點O順時針旋轉90°，A點的對應點為A'，B點的對應點為B'，上問求出A點座標（1，4）的對應點A′的座標為（4，-1），同理求出B點座標（4，1）的對應點B′的座標為（1，-4）；（3）設直線A′B′的解析式為y=kx+b，則4k+b=-1，k+b=-4，解得k=1，b=-5，∴y=x-5，∴∠A′B′A=45°．如果△MNB'為等腰直角三角形，那麼分兩種情況：①∠B′NM=90°；②∠B′MN=90°．∵AM=B′N=t，∴B′M=AB′-AM=8-t．①當∠B′NM=90°時，B′M=B′N，∴8-t=t，解得t=8-8；②當∠B′MN=90°時，B′N=B′M，∴t=（8-t），解得t=16-8．∵A′B′==3，AB′=8，∴0≤t≤3．又∵16-8＞3，∴t=16-8捨去．故當t=8-8時，△MNB'為等腰直角三角形．點評：此題綜合考查了反比例函數、等腰直角三角形、旋轉的*質等多個知識點．要注意（3）首先需根據已知條件確定哪些角可能是直角，要考慮到所有的情況，不要漏解．此題難度稍大，綜合*比較強，注意對各個知識點的靈活應用．

【回答】

【*】分析：（1）首先把x=1代入反比例函數（x＞0）的解析式，求出對應的y值，得到A點座標，然後由旋轉的*質得出∠AOA′=90°，OA=OA′，如果分別過A、A′作AM⊥y軸於M，A′N⊥x軸於N，連接OA，OA′，易*△OAM≌△OA′N，得到A′的座標，從而求出旋轉後的圖象解析式；（2）上問已經求出A′的座標，同樣求出點B′的座標；（3）首先運用待定係數法求出直線A′B′的解析式，由斜率k的值可知∠A′B′A=45°．然後假設存在使△MNB'為等腰直角三角形的t值，那麼分兩種情況討論：①∠B′NM=90°；②∠B′MN=90°．針對每一種情況，都可以利用等腰直角三角形中斜邊是直角邊的倍列出方程，從而求出結果．解答：解：（1）∵A為反比例函數（x＞0）的圖象上的點，A點的橫座標為1，∴A點座標為（1，4）．分別過A、A′作AM⊥y軸於M，A′N⊥x軸於N，連接OA，OA′．∵將（x＞0）的圖象繞原點O順時針旋轉90°，A點的對應點為A'，∴∠AOA′=90°，OA=OA′．在△OAM與△OA′N中，∠AOM=∠A′ON=90°-∠AON，∠AMO=∠A′NO=90°，OA=OA′，∴△OAM≌△OA′N，∴OM=ON=4，AM=A′N=1，∴A′的座標為（4，-1），∴旋轉後的圖象解析式為y=-；（2）∵B為反比例函數（x＞0）的圖象上兩點，B點的縱座標為1，∴B（4，1），又∵將（x＞0）的圖象繞原點O順時針旋轉90°，A點的對應點為A'，B點的對應點為B'，上問求出A點座標（1，4）的對應點A′的座標為（4，-1），同理求出B點座標（4，1）的對應點B′的座標為（1，-4）；（3）設直線A′B′的解析式為y=kx+b，則4k+b=-1，k+b=-4，解得k=1，b=-5，∴y=x-5，∴∠A′B′A=45°．如果△MNB'為等腰直角三角形，那麼分兩種情況：①∠B′NM=90°；②∠B′MN=90°．∵AM=B′N=t，∴B′M=AB′-AM=8-t．①當∠B′NM=90°時，B′M=B′N，∴8-t=t，解得t=8-8；②當∠B′MN=90°時，B′N=B′M，∴t=（8-t），解得t=16-8．∵A′B′==3，AB′=8，∴0≤t≤3．又∵16-8＞3，∴t=16-8捨去．故當t=8-8時，△MNB'為等腰直角三角形．點評：此題綜合考查了反比例函數、等腰直角三角形、旋轉的*質等多個知識點．要注意（3）首先需根據已知條件確定哪些角可能是直角，要考慮到所有的情況，不要漏解．此題難度稍大，綜合*比較強，注意對各個知識點的靈活應用．

知識點：

題型：