如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的對稱軸為直線x＝－1，且經過A(1，0)，C(0，3)兩點，與...

問題詳情：

如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的對稱軸為直線x＝－1，且經過A(1，0)，C(0，3)兩點，與x軸的另一個交點為B.

(1)若直線y＝mx＋n經過B，C兩點，求拋物線和直線BC的解析式；

(2)在拋物線的對稱軸x＝－1上找一點M，使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，求點M的座標；

(3)設點P為拋物線的對稱軸x＝－1上的一個動點，求使△BPC為直角三角形的點P的座標．

【回答】

解：(1)由題意得，

解得，

∴拋物線的解析式為y＝－x2－2x＋3.

∵對稱軸為直線x＝－1，拋物線經過A(1，0)，

∴B(－3，0)．

設直線BC的解析式y＝mx＋n，

把B(－3，0)，C(0，3)分別代入y＝mx＋n得

∴直線BC的解析式為y＝x＋3；

(2)如解圖，連接MA，

第2題解圖

∵MA＝MB，

∴MA＋MC＝MB＋MC.

∴使MA＋MC最小的點M應為直線BC與對稱軸x＝－1的交點．設直線BC與對稱軸x＝－1的交點為M，把x＝－1代入直線y＝x＋3，得y＝2.

∴M(－1，2);

(3)設P(－1，t)，∵B(－3，0)，C(0，3)，∴BC2＝18，

PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，

PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10.

①若B為直角頂點，則BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10，解得t＝－2；

②若C為直角頂點，則BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得t＝4；

③若P為直角頂點，則PB2＋PC2＝BC2，即：

4＋t2＋t2－6t＋10＝18，解得t1＝，t2＝.

綜上所述，滿足條件的點P共有四個，分別為：P1(－1，－2)，P2(－1，4)，P3(－1，)，P4(－1，)．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題