如圖10，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸分別交於點A、B，與y軸交於點C，且OA＝1，OB＝3，頂點為D，對...

問題詳情：

如圖10，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸分別交於點A、B，與y軸交於點C，且OA＝1，OB＝3，頂點為D，對稱軸交x軸於點Q．

（1）求拋物線對應的二次函數的表達式；

（2）點P是拋物線的對稱軸上一點，以點P為圓心的圓經過A、B兩點，且與直線CD相切，求點P的座標；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使得△DCM∽△BQC？如果存在，求出點M的座標；如果不存在，請説明理由．

【回答】

解：（1）∵OA＝1，OB＝3，

∴A（－1,0），B（3,0）．……………………………………1分

代入y＝－x2＋bx＋c，得

．………………………2分

解得　b＝2，c＝3．

∴拋物線對應二次函數的表達式為：y＝－x2＋2x＋3；……3分

（2）如圖，設直線CD切⊙P於點E．連結PE、PA，作CF⊥DQ於點F．

∴PE⊥CD，PE＝PA．　……………………………4分

由y＝－x2＋2x＋3，得

對稱軸為直線x＝1，C（0，3）、D（1，4）．……5分

∴DF＝4－3＝1，CF＝1，

∴DF＝CF，

∴△DCF為等腰直角三角形．

∴∠CDF＝45°，

∴∠EDP＝∠EPD＝45°，

∴DE＝EP，

∴△DEP為等腰三角形．　

設P（1，m），

∴EP2＝（4－m）2．　………………………6分

在△APQ中，∠PQA＝90°，

∴AP2＝AQ2＋PQ2＝[1－（－1）]2＋m2．……7分

∴　　　（4－m）2＝[1－（－1）]2＋m2．

解得，　　　　　　m＝．

∴點P的座標為（1，）或（1，）．………8分

（3）存在點M，使得△DCM∽△BQC．……………9分

如圖，連結CQ、CB、CM，

∵C（0，3），OB＝3，∠COB＝90°，

∴△COB為等腰直角三角形，

∴∠CBQ＝45°，BC＝3．

由（2）可知，∠CDM＝45°，CD＝，

∴∠CBQ＝∠CDM．……………………………10分

∴△DCM∽△BQC分兩種情況．

當時，

∴，解得　DM＝．

∴QM＝DQ－DM＝4－＝．

∴M1（1，）．…………………………………11分

當時，

∴，解得　DM＝3．

∴QM＝DQ－DM＝4－3＝1．

∴M2（1，1）．

綜上，點M的座標為（1，）或（1，1）．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題