問題詳情:
已知橢圓的左、右焦點分別為,且橢圓離心率為,過作軸的垂線與橢圓交於兩點,且,動點在橢圓上.
(I)求橢圓的標準方程;
(II)記橢圓的左、右頂點分別為,且直線的斜率分別與直線(為座標原點)的斜率相同,動點不與重合,試判斷的面積是否為定值,並説明理由.
【回答】
(I)聯立方程得解得,
故,即,又,,所以,
故橢圓C的標準方程為.
(II)由(I)知,,設,
則,
又,即,
所以,所以.
當直線的斜率不存在時,直線的斜率分別為或,
不妨設直線的方程是,由得或.
取,則,所以的面積為.
當直線的斜率存在時,設方程為.
由得.
因為在橢圓上,所以,解得.
設,,則,.
所以
.
設點到直線的距離為,則.
所以的面積為,①.
因為,
所以
由,得,②.
由①②,得.
綜上所述,的面積為定值,該定值為.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題