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設橢圓的左焦點為，上頂點為.已知橢圓的短軸長為4，離心率為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設點在橢圓上，且異於橢圓...

欄目: 練習題 / 發佈於: / 人氣:2.82W

問題詳情：

設橢圓的左焦點為，上頂點為.已知橢圓的短軸長為4，離心率為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設點在橢圓上，且異於橢圓的上、下頂點，點為直線與軸的交點，點在軸的負半軸上.若（為原點），且，求直線的斜率.

【回答】

（Ⅰ）（Ⅱ）或.

【分析】

(Ⅰ)由題意得到關於a,b,c的方程，解方程可得橢圓方程；

(Ⅱ)聯立直線方程與橢圓方程確定點P的座標，從而可得OP的斜率，然後利用斜率公式可得MN的斜率表達式，最後利用直線垂直的充分必要條件得到關於斜率的方程，解方程可得直線的斜率.

【詳解】

(Ⅰ) 設橢圓的半焦距為，依題意，，又，可得，b=2，c=1.

所以，橢圓方程為.

(Ⅱ)由題意，設.設直線的斜率為，

又，則直線的方程為，與橢圓方程聯立，

整理得，可得，

代入得，

進而直線的斜率，

在中，令，得.

由題意得，所以直線的斜率為.

由，得，

化簡得，從而.

所以，直線的斜率為或.

【點睛】

本題主要考查橢圓的標準方程和幾何*質､直線方程等基礎知識.考查用代數方法研究圓錐曲線的*質.考查運算求解能力，以及用方程思想解決問題的能力.

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題

Tags：異於橢圓短軸長設點

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