已知橢圓的左、右焦點分別為，且橢圓的離心率為，過作軸的垂線與橢圓交於兩點，且，動點在橢圓上．（1）求橢圓的標準...

問題詳情：

已知橢圓的左、右焦點分別為，且橢圓的離心率為，過作軸的垂線與橢圓交於兩點，且，動點在橢圓上．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）記橢圓的左、右頂點分別為，且直線的斜率分別與直線（

為座標原點）的斜率相同，動點不與重合，求的面積．

【回答】

【解析】（1）聯立方程得解得，故，即，

又，，所以，（3分）

故橢圓C的標準方程為.（4分）

（2）由（1）知，，設，則，

又，即，所以，所以.

當直線的斜率不存在時，直線的斜率分別為或，

不妨設直線的方程是，由得，．

取，則，所以的面積為.（6分）

當直線的斜率存在時，設方程為．

由得．

因為在橢圓上，所以，解得．

設,,則，.（8分）

所以

．

設點到直線的距離為，則．

所以的面積為，①．（10分）

因為，

所以

由，得，②．

由①②，得．

綜上所述，的面積為．（12分）

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題