已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，且過點P．（1）求橢圓的標準方程；（2）已知斜率為1的直線l過橢圓...

問題詳情：

已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，且過點P．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知斜率為1的直線l過橢圓的右焦點F交橢圓於A．B兩點，求弦AB的長．

【回答】

（1）；（2）

【分析】

（1）先設橢圓的方程，再利用的橢圓C的離心率為，且過點（），即可求得橢圓C的方程；（2）設出A、B的座標，由橢圓方程求出橢圓右焦點座標，得到A、B所在直線方程，與橢圓方程聯立，化為關於x的一元二次方程，利用根與係數的關係可得A、B橫座標的和與積，代入弦長公式求弦AB的長．

【詳解】

(1) 設橢圓方程為，橢圓的半焦距為c，

∵橢圓C的離心率為，

∴，∴，①

∵橢圓過點（），

∴②

由①②解得：b2=，a2=4

∴橢圓C的方程為．

(2) 設A、B的座標分別為A（x1，y1）、B（x2，y2）．

由橢圓的方程知a2=4，b2=1，c2=3，

∴F（，0）．

直線l的方程為y=x﹣．

聯立，得5x2﹣8x+8=0，

∴x1+x2=，x1x2=，

∴|AB|=

==．

【點睛】

本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程和橢圓方程聯立，運用韋達定理和絃長公式，考查運算能力，屬於中檔題．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題