問題詳情:
如圖,橢圓=1(a>b>0)的上,下兩個頂點為A,B,直線l:y=-2,點P是橢圓上異於點A,B的任意一點,連接AP並延長交直線l於點N,連接PB並延長交直線l於點M,設AP所在的直線的斜率為k1,BP所在的直線的斜率為k2.若橢圓的離心率為,且過點A(0,1).
(1)求k1·k2的值;
(2)求MN的最小值;
(3)隨着點P的變化,以MN為直徑的圓是否恆過定點?若過定點,求出該定點;如不過定點,請説明理由.
【回答】
解 (1)因為e==,b=1,解得a=2,所以橢圓C的標準方程為=1.(2分)
設橢圓上點P(x0,y0),有=1,
所以k1·k2= (2)因為M,N在直線l:y=-2上,設M(x1,-2),N(x2,-2),
由方程知+y2=1知,A(0,1),B(0,-1),
所以KBM·kAN= (6分)
又由(1)知kAN·kBM=k1·k2=-,所以x1x2=-12,(8分)
不妨設x1<0,則x2>0,則
MN=|x1-x2|=x2-x1=x2+=4,
所以若且唯若x2=-x1=2時,MN取得最小值4.(10分)
(3)設M(x1,-2),N(x2,-2),
則以MN為直徑的圓的方程為
(x-x1)(x-x2)+(y+2)2=0,(12分)
即x2+(y+2)2-12-(x1+x2)x=0,若圓過定點,
則有x=0,x2+(y+2)2-12=0,解得x=0,y=-2±2,
所以,無論點P如何變化,以MN為直徑的圓恆過定點(0,-2±2).(16分)
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題