問題詳情：
如圖，橢圓C：
(a＞b＞0)的離心率為
，其左焦點到點P(2，1)的距離為
．不過原點O的直線l與C相交於A，B兩點，且線段AB被直線OP平分．
(Ⅰ)求橢圓C的方程；
(Ⅱ) 求
ABP的面積取最大時直線l的方程．
【回答】
(Ⅰ)
；(Ⅱ)
．
【解析】
試題分析：（1）由題意得到離心率，再結合距離公式即可得：
，
所求橢圓
的方程為：
.（2）易得直線
的方程：
，用點差法得到
設直線
的方程為
：
，與橢圓方程聯立得
，由
得到
的取值範圍；由弦長公式
，點到直線的距離表示出面積
，即可求出直線
的方程．
試題解析：（1）由題：
；
左焦點
到點
的距離為：
.‚
由‚可解得：
.
所求橢圓
的方程為：
.
（2）易得直線
的方程：
，設
.其中
.
、
在橢圓上，
設直線
的方程為
：
，
代入橢圓：
.
顯然
.
且
.
點
到直線
的距離為：
.
若且唯若
時，三角形的面積最大，此時直線
的方程
.
考點：1、橢圓的*質；2、中點弦問題；3、最值問題．
【技巧點晴】本題考查
是橢圓的定義和*質、直線與圓錐曲線的位置關係、最值等綜合知識，屬於難題；圓錐曲線中有關三角形面積問題，解決方法一般有兩種：第一種是利用公式求出弦長，表示出點到弦長所在直線的距離，用
求面積；第二種是以
軸（或者
軸）為界，把三角形分成兩部分，利用
其中
為三角形被
軸（或者
軸）解得的線段長度．
知識點：圓錐曲線與方程
題型：解答題
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