已知拋物線（a＜0）的對稱軸為x＝－1，與x軸的一個交點為（3，0）．若關於x的一元二次方程（p＞0）有整數根...

問題詳情：

已知拋物線（a＜0）的對稱軸為 x＝－1，與 x 軸的一個交點為（3，0）．若關於 x 的一元二次方程 （p＞0）有整數根，則p的值有（  ）

A．4個                       B．3個                       C．7個                       D．5個

【回答】

A

【分析】

根據題意可知一元二次方程（p＞0）的根應為整數，通過拋物線（a＜0）的對稱軸為與x軸的一個交點為．可以畫出大致圖象判斷出直線y=p（0＜p≤）與二次函數的交點位置與個數，觀察圖象當0＜y≤時，拋物線始終與x軸相交於與．故自變量x的取值範圍為＜x＜．所以x可以取得整數，共個．而與，與，與x=0關於直線成軸對稱，從而確定y=p時，滿足條件的p的值應有個．

【詳解】

解：∵拋物線（a＜0）的對稱軸為

∴

解得：b=2a．

又∵拋物線（a＜0）與x軸的一個交點為．

把代入得，，

解得，

∴（a＜0）

由對稱軸所以最大值，

如圖所示，頂點座標為，

由拋物線的對稱*可得：拋物線始終與x軸的另一個交點為：，

∴即常函數直線y=p，且p＞0

∴0＜y≤，

由圖象得當0＜y≤時，＜x＜，

其中x為整數時，，

∴一元二次方程（p＞0）有整數解，

 方程的解一定為：中的一個或兩個，

又∵與，與，與x=0關於直線成軸對稱，

而當時，直線y=p恰好過拋物線頂點．

所以p值可以有個．

故選：．

【點睛】

本題考查了二次函數圖象與x軸及直線y=p（p＞0）的交點橫座標與一元二次方程的根的關係，掌握利用數形結合的思想解題是關鍵．

知識點：二次函數的圖象和*質

題型：選擇題