問題詳情:
如圖,拋物線與x軸交於A(x1,0)、B(x2,0)兩點,且x1<x2,與y軸交於點C(0,﹣4),其中x1,x2是方程x2﹣4x﹣12=0的兩個根.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點M是線段AB上的一個動點,過點M作MN∥BC,交AC於點N,連接CM,當△CMN的面積最大時,求點M的座標;
(3)點D(4,k)在(1)中拋物線上,點E為拋物線上一動點,在x軸上是否存在點F,使以A、D、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形?如果存在,求出所有滿足條件的點F的座標;若不存在,請説明理由.
【回答】
【考點】HF:二次函數綜合題.
【分析】(1)根據一元二次方程解法得出A,B兩點的座標,再利用交點式求出二次函數解析式;
(2)首先判定△MNA∽△BCA.得出,進而得出函數的最值;
(3)分別根據當AF為平行四邊形的邊時,AF平行且等於DE與當AF為平行四邊形的對角線時,分析得出符合要求的*.
【解答】解:(1)∵x2﹣4x﹣12=0,
∴x1=﹣2,x2=6.
∴A(﹣2,0),B(6,0),
又∵拋物線過點A、B、C,故設拋物線的解析式為y=a(x+2)(x﹣6),
將點C的座標代入,求得,
∴拋物線的解析式為;
(2)設點M的座標為(m,0),過點N作NH⊥x軸於點H(如圖(1)).
∵點A的座標為(﹣2,0),點B的座標為(6,0),
∴AB=8,AM=m+2,
∵MN∥BC,∴△MNA∽△BCA.
∴,
∴,
∴,
∴,
=,
=.
∴當m=2時,S△CMN有最大值4.
此時,點M的座標為(2,0);
(3)∵點D(4,k)在拋物線上,
∴當x=4時,k=﹣4,
∴點D的座標是(4,﹣4).
①如圖(2),當AF為平行四邊形的邊時,AF平行且等於DE,
∵D(4,﹣4),∴DE=4.
∴F1(﹣6,0),F2(2,0),
②如圖(3),當AF為平行四邊形的對角線時,設F(n,0),
∵點A的座標為(﹣2,0),
則平行四邊形的對稱中心的橫座標為:,
∴平行四邊形的對稱中心座標為(,0),
∵D(4,﹣4),
∴E'的橫座標為:﹣4+=n﹣6,
E'的縱座標為:4,
∴E'的座標為(n﹣6,4).
把E'(n﹣6,4)代入,得n2﹣16n+36=0.
解得.,,
綜上所述F1(﹣6,0),F2(2,0),F3(8﹣2,0),F4(8+2,0).
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:綜合題