如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交於A（﹣1，0），B（3，0）兩點，頂點M關於x軸的對稱點是M′．（1）...

欄目: 練習題 / 發佈於: / 人氣:1.55W

問題詳情：

如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交於A（﹣1，0），B（3，0）兩點，頂點M關於x軸的對稱點是M′．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若直線AM′與此拋物線的另一個交點為C，求△CAB的面積；

（3）是否存在過A，B兩點的拋物線，其頂點P關於x軸的對稱點為Q，使得四邊形APBQ為正方形？若存在，求出此拋物線的解析式；若不存在，請説明理由．

【回答】

（1）解：將A、B點座標代入函數解析式，得，解得，拋物線的解析式y=x2﹣2x﹣3 （2）解：將拋物線的解析式化為頂點式，得 y=（x﹣1）2﹣4， M點的座標為（1，﹣4）， M′點的座標為（1，4），設AM′的解析式為y=kx+b，將A、M′點的座標代入，得，解得， AM′的解析式為y=2x+2，聯立AM′與拋物線，得，解得， C點座標為（5，12）． S△ABC= ×4×12=24 （3）解：存在過A，B兩點的拋物線，其頂點P關於x軸的對稱點為Q，使得四邊形APBQ為正方形，由ABPQ是正方形，A（﹣1，0）B（3，0），得 P（1，﹣2），Q（1，2），或P（1，2），Q（1，﹣2）， ①當頂點P（1，﹣2）時，設拋物線的解析式為y=a（x﹣1）2﹣2，將A點座標代入函數解析式，得 a（﹣1﹣1）2﹣2=0，解得a= ，拋物線的解析式為y= （x﹣1）2﹣2， ②當P（1，2）時，設拋物線的解析式為y=a（x﹣1）2+2，將 A點座標代入函數解析式，得 a（﹣1﹣1）2+2=0，解得a=﹣ ，拋物線的解析式為y=﹣ （x﹣1）2+2，綜上所述：y= （x﹣1）2﹣2或y=﹣ （x﹣1）2+2，使得四邊形APBQ為正方形．【考點】待定係數法求一次函數解析式，待定係數法求二次函數解析式，正方形的*質，關於x軸、y軸對稱的點的座標，二次函數與一次函數的交點問題【解析】【分析】（1）根據待定係數法，將A、B點座標代入函數解析式，即可求解。（2）先求出頂點座標，根據軸對稱的*質，可求得點M′的座標，再求出直線AM′的解析式，再將兩函數解析式聯立，建立方程組，求解即可求出點C的座標，然後求出△ABC的面積。（3）根據正方形的*質，求得P、Q兩點的座標，根據待定係數法，可得函數解析式。

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：綜合題

Tags：對稱點拋物線如圖軸交於 yx2bxc

如圖，過點A（-1，0）、B（3，0）的拋物線y=-x2+bx+c與y軸交於點C，它的對稱軸與x軸交於點E.求... 如圖，拋物線y＝x2+bx+c交x軸於A、B兩點，其中點A座標為（1，0），與y軸交於點C（0，﹣3）．（1）... 如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交於A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交於點C，拋物線的頂點為M，對稱... 如圖，拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸相交於A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸相交於點C，頂點為D．（1）... 如圖1，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交於A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交於C點，點P是拋物線... ．如圖：已知拋物線的頂點為A（1，4），拋物線與y軸交於點B（0，3）與x軸交於C、D兩點，點P是x軸上的一個... 如圖1，拋物線y=﹣x2﹣4x+5與x軸交於點A、B兩點，與y軸交於點C，點D為拋物線的頂點．（1）求直線AC... 如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交於點A（﹣1，0），B（5，0）兩點，直線y=﹣x+3與y軸交於點C，... 如圖，以x=1為對稱軸的拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸交於點A，點B（﹣1，0），與y軸交於點C（0，... 如圖，拋物線y=x2﹣2x﹣3與x軸交於A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交於C點，點D是拋物線的頂點．（...