已知函數R.（1）討論的單調*；（2）若有兩個零點，求實數的取值範圍．

問題詳情：

已知函數R.

（1）討論的單調*；

（2）若有兩個零點，求實數的取值範圍．

【回答】

解：(1) 的定義域為，

. ……………………1分

(i)當時，恆成立，

時，，在上單調遞增；

時，，在上單調遞減； ………………2分

(ii) 當時，由得，（捨去），

①當，即時，恆成立，在上單調遞增；…3分

②當，即時，

或時，恆成立，在，單調遞增；

時，恆成立，在上單調遞減；…………4分

③當即時，

或時，恆成立，在單調遞增；

時，恆成立，在上單調遞減；……………5分

綜上，當時，單調遞增區間為，單調遞減區間為；

當時，單調遞增區間為，無單調遞減區間；

當時，單調遞增區間為，，單調遞減區間為；

當時，單調遞增區間為，單調遞減區間為．

(2)由(1)知，當時，單調遞增區間為，單調遞減區間為，

又因為，                      分

取，令，，則

在成立，故單調遞增，，

，

（注：此處若寫“當時，”也給分）

所以有兩個零點等價於，得，

所以．

當時，，只有一個零點，不符合題意；

當時，在單調遞增，至多隻有一個零點，不符合題意；

當且時，有兩個極值，

，，

記，                

，

令，則.

當時，，在單調遞增；

當時，，在單調遞減．

故，在單調遞增．

時，，故．

又，由(1)知，至多隻有一個零點，不符合題意．

綜上，實數的取值範圍為.    

知識點：基本初等函數I

題型：解答題