設橢圓的左焦點為，離心率為，為圓的圓心．（1）求橢圓的方程；（2）已知過橢圓右焦點的直線交橢圓於，兩點，過且與...

問題詳情：

設橢圓的左焦點為，離心率為，為圓的圓心．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知過橢圓右焦點的直線交橢圓於，兩點，過且與垂直的直線與圓交於，兩點，求四邊形面積的取值範圍．

【回答】

【解析】（1）由題意知，則，

圓的標準方程為，

從而橢圓的左焦點為，即，···········2分

所以，又，得．···········3分

所以橢圓的方程為：．···········4分

（2）可知橢圓右焦點．

（i）當與軸垂直時，此時不存在，直線，直線，

可得：，，四邊形面積為12．···········5分

（ii）當與軸平行時，此時，直線，直線，

可得：，，四邊形面積為．·········6分

（iii）當與軸不垂直時，設的方程為，並設，．

由，得．

顯然，且，．···········8分

所以．···········9分

過且與垂直的直線，則圓心到的距離為，

所以．···········10分

故四邊形面積：．

可得當與軸不垂直時，四邊形面積的取值範圍為．······11分

綜上，四邊形面積的取值範圍為．···········12分

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題