已知橢圓的左、右焦點分別為為橢圓上一動點，當的面積最大時，其內切圓半徑為，設過點的直線被橢圓截得的線段,當軸時...

問題詳情：

已知橢圓的左、右焦點分別為為橢圓上一動點，當的面積最大時，其內切圓半徑為，設過點的直線被橢圓截得的線段,

當軸時，.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若點為橢圓的左頂點，是橢圓上異於左、右頂點的兩點，設直線的斜率分別為，若，試問直線是否過定點？若過定點，求該定點的座標；若不過定點，請説明理由.

【回答】

解：（1）由題意及三角形內切圓的*質可得，得①......2分

將代入，結合②，得，...................4分

所以③，由①②③得....................5分

故橢圓的標準方程為....................6分

（2）設點的座標分別為，.

①當直線的斜率不存在時，由題意得或，

直線的方程為....................7分

②當直線的斜率存在時，設直線的方程為，

聯立得，消去得，

由，得

...................（8分）

由可得，

得，

整理得

由（1）和（2）得，解得或...................（10分）

當時，直線的方程為，過定點，不合題意；.........（11分）

當時，直線的方程為，過定點，

綜上直線過定點，定點座標為....................（12分）

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題