.已知橢圓的離心率為，且經過點.求橢圓的標準方程；設為橢圓的中線，點，過點的動直線交橢圓於另一點，直線上的點滿...

問題詳情：

.已知橢圓的離心率為，且經過點.

求橢圓的標準方程；

設為橢圓的中線，點，過點的動直線交橢圓於另一點，直線上的點滿足，求直線與的交點的軌跡方程.

【回答】

【解析】

【分析】

（1）利用橢圓C：的離心率為，且經過點M（2，0），可求橢圓的幾何量，從而可求橢圓方程；

（2）直線方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理，求得B點座標，結合求出C的座標，寫出BD、OC的直線方程，利用消參法求軌跡.

【詳解】因為橢圓的離心率，且，所以.

又.故橢圓的標準方程為.

設直線的方程為（當存在時，由題意），代入，並整理得.

解得，於是，即.

設，則.

由已知得，得，解得，於是.

又，

由兩點的座標可得直線的方程為.

又由點座標可得直線的方程為.

兩式相乘，消去參數得.（如果只求出交點的座標，此步不得分）

又當不存在時，四點重合，此時也滿足題意.

故直線與的交點的軌跡方程.

【點睛】本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關係，考查直線過定點，正確運用韋達定理是關鍵．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題