問題詳情:
如圖,⊙O中,直徑CD⊥弦AB於E,AM⊥BC於M,交CD於N,連AD.
(1)求*:AD=AN;
(2)若AB=4,ON=1,求⊙O的半徑.
【回答】
【考點】垂徑定理;勾股定理;圓周角定理.
【分析】(1)先根據圓周角定理得出∠BAD=∠BCD,再由直角三角形的*質得出∠ANE=∠CNM,故可得出∠BCD=∠BAM,由全等三角形的判定定理得出△ANE≌△ADE,故可得出結論;
(2)先根據垂徑定理求出AE的長,設NE=x,則OE=x﹣1,NE=ED=x,r=OD=OE+ED=2x﹣1
連結AO,則AO=OD=2x﹣1,在Rt△AOE中根據勾股定理可得出x的值,進而得出結論.
【解答】(1)*:∵∠BAD與∠BCD是同弧所對的圓周角,
∴∠BAD=∠BCD,
∵AE⊥CD,AM⊥BC,
∴∠AMC=∠AEN=90°,
∵∠ANE=∠CNM,
∴∠BCD=∠BAM,
∴∠BAM=BAD,
在△ANE與△ADE中,
∵,
∴△ANE≌△ADE,
∴AD=AN;
(2)解:∵AB=4,AE⊥CD,
∴AE=2,
又∵ON=1,
∴設NE=x,則OE=x﹣1,NE=ED=x,r=OD=OE+ED=2x﹣1
連結AO,則AO=OD=2x﹣1,
∵△AOE是直角三角形,AE=2,OE=x﹣1,AO=2x﹣1,
∴(2)2+(x﹣1)2=(2x﹣1)2,解得x=2,
∴r=2x﹣1=3.
知識點:圓的有關*質
題型:解答題