如圖，四邊形ABCD內接於⊙O，BD是⊙O的直徑，AE⊥CD，垂足為E，DA平分∠BDE．（1）求*：AE是⊙...

問題詳情：

如圖，四邊形ABCD內接於⊙O，BD是⊙O的直徑，AE⊥CD，垂足為E，DA平分∠BDE．

（1）求*：AE是⊙O的切線；

（2）若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD的長．

【回答】

【考點】切線的判定；圓周角定理．

【分析】（1）連接OA，根據角之間的互餘關係可得∠OAE=∠DEA=90°，故AE⊥OA，即AE是⊙O的切線；

（2）根據圓周角定理，可得在Rt△AED中，∠AED=90°，∠EAD=30°，有AD=2DE；在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ABD=30°，有BD=2AD=4DE，即可得出*．

【解答】（1）*：連接OA，

∵DA平分∠BDE，

∴∠BDA=∠EDA．

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD，

∴∠OAD=∠EDA，

∴OA∥CE．

∵AE⊥CE，

∴AE⊥OA．

∴AE是⊙O的切線．

（2）解：∵BD是直徑，

∴∠BCD=∠BAD=90°．

∵∠DBC=30°，∠BDC=60°，

∴∠BDE=120°．

∵DA平分∠BDE，

∴∠BDA=∠EDA=60°．

∴∠ABD=∠EAD=30°．

∵在Rt△AED中，∠AED=90°，∠EAD=30°，

∴AD=2DE．

∵在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ABD=30°，

∴BD=2AD=4DE．

∵DE的長是1cm，

∴BD的長是4cm．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題