已知函數，．（Ⅰ）若在上存在極大值點，求實數的取值範圍；（Ⅱ）求*：，其中．

問題詳情：

已知函數，．

（Ⅰ）若在上存在極大值點，求實數的取值範圍；

（Ⅱ）求*：，其中．

【回答】

（Ⅰ）  （Ⅱ）見*

【分析】

（Ⅰ）先對函數求導，再由分類討論的思想，分別討論，和三種情況，即可得出結果；

（Ⅱ）令可得，由（Ⅰ）可知的極大值，再由時，，即可*結論成立；也可用數學歸納法*.

【詳解】

解：（Ⅰ）由於，

則①當時，，

即當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減；

故在處取得極大值，

則，解得：；

②當時，恆成立，無極值，不合題意捨去；

③當時，，

即當時，，單調遞減；

當時， ，單調遞增；

故在處取得極小值，不合題意捨去；

因此當時，在上存在極大值點；

（Ⅱ）法一：令，，

由（Ⅰ）得：在處取得極大值1，且該極值是唯一的，

則，即，若且唯若時取“=”，

故當時，，

因此．

法二：下面用數學歸納法*：，對恆成立．

（1）當時，左邊，右邊，

左邊右邊，結論成立；

（2）假設當時，結論成立，即，

當時，左邊

，

而，

令，，

由（Ⅰ）得：在處取得極大值1，且該極值是唯一的，

則，即，若且唯若時取“=”， 

則對恆成立，即

成立

故當時，結論成立，

因此，綜合（1）（2）得，對恆成立

【點睛】

本題主要考查導數在函數中的應用，通常需要對函數求導，由導數的方法研究函數的單調*和極值等，屬於常考題型.

知識點：導數及其應用

題型：解答題