已知拋物線y=ax2+bx+c過點A（0，2），且拋物線上任意不同兩點M（x1，y1），N（x2，y2）都滿足...

問題詳情：

已知拋物線y=ax2+bx+c過點A（0，2），且拋物線上任意不同兩點M（x1，y1），N（x2，y2）都滿足：當x1＜x2＜0時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；當0＜x1＜x2時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原點O為圓心，OA為半徑的圓與拋物線的另兩個交點為B，C，且B在C的左側，△ABC有一個內角為60°．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若MN與直線y=﹣2x平行，且M，N位於直線BC的兩側，y1＞y2，解決以下問題：

①求*：BC平分∠MBN；

②求△MBC外心的縱座標的取值範圍．

【回答】

解：（1）∵拋物線過點A（0，2），

∴c=2，

當x1＜x2＜0時，x1﹣x2＜0，由（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，得到y1﹣y2＜0，

∴當x＜0時，y隨x的增大而增大，

同理當x＞0時，y隨x的增大而減小，

∴拋物線的對稱軸為y軸，且開口向下，即b=0，

∵以O為圓心，OA為半徑的圓與拋物線交於另兩點B，C，如圖1所示，

∴△ABC為等腰三角形，

∵△ABC中有一個角為60°，

∴△ABC為等邊三角形，且OC=OA=2，

設線段BC與y軸的交點為點D，則有BD=CD，且∠OBD=30°，

∴BD=OB•cos30°=，OD=OB•sin30°=1，

∵B在C的左側，

∴B的座標為（﹣，﹣1），

∵B點在拋物線上，且c=2，b=0，

∴3a+2=﹣1，

解得：a=﹣1，

則拋物線解析式為y=﹣x2+2；

（2）①由（1）知，點M（x1，﹣x12+2），N（x2，﹣x22+2），

∵MN與直線y=﹣2x平行，

∴設直線MN的解析式為y=﹣2x+m，則有﹣x12+2=﹣2x1+m，即m=﹣x12+2x1+2，

∴直線MN解析式為y=﹣2x﹣x12+2x1+2，

把y=﹣2x﹣x12+2x1+2代入y=﹣x2+2，解得：x=x1或x=2﹣x1，

∴x2=2﹣x1，即y2=﹣（2﹣x1）2+2=﹣x12+4x1﹣10，

作ME⊥BC，NF⊥BC，垂足為E，F，如圖2所示，

∵M，N位於直線BC的兩側，且y1＞y2，則y2＜﹣1＜y1≤2，且﹣＜x1＜x2，

∴ME=y1﹣（﹣1）=﹣x12+3，BE=x1﹣（﹣）=x1+，NF=﹣1﹣y2=x12﹣4x1+9，BF=x2﹣（﹣）=3﹣x1，

在Rt△BEM中，tan∠MBE===﹣x1，

在Rt△BFN中，tan∠NBF=====﹣x1，

∵tan∠MBE=tan∠NBF，

∴∠MBE=∠NBF，

則BC平分∠MBN；

②∵y軸為BC的垂直平分線，

∴設△MBC的外心為P（0，y0），則PB=PM，即PB2=PM2，

根據勾股定理得：3+（y0+1）2=x12+（y0﹣y1）2，

∵x12=2﹣y2，

∴y02+2y0+4=（2﹣y1）+（y0﹣y1）2，即y0=y1﹣1，

由①得：﹣1＜y1≤2，

∴﹣＜y0≤0，

則△MBC的外心的縱座標的取值範圍是﹣＜y0≤0．

知識點：各地中考

題型：解答題