如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．（1）*：AC⊥BD；（2）已知△ACD是直角三角形...

問題詳情：

如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．

（1）*：AC⊥BD；

（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E為稜BD上與D不重合的點，且AE⊥EC，求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比．

【回答】

（1）見解析；（2）1:1.

【解析】

試題分析：（1）取的中點，由等腰三角形及等邊三角形的*質得，，再根據線面垂直的判定定理得平面，即得AC⊥BD；（2）先由AE⊥EC，結合平面幾何知識確定，再根據錐體的體積公式得所求體積之比為1:1.

試題解析：

（1）取AC的中點O，連結DO，BO.

因為AD=CD，所以AC⊥DO.

又由於是正三角形，所以AC⊥BO.

從而AC⊥平面DOB，故AC⊥BD.

（2）連結EO.

由（1）及題設知∠ADC=90°，所以DO=AO.

在中，.

又AB=BD，所以

，故∠DOB=90°.

由題設知為直角三角形，所以.

又是正三角形，且AB=BD，所以.

故E為BD的中點，從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的，四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的，即四面體ABCE與四面體ACDE的體積之比為1:1.

【名師點睛】垂直、平行關係*中應用轉化與化歸思想的常見類型：

（1）*線面、面面平行，需轉化為*線線平行.

（2）*線面垂直，需轉化為*線線垂直.

（3）*線線垂直，需轉化為*線面垂直.

知識點：空間幾何體

題型：解答題