如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別交於A（﹣1，0），B（5，0）兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）...

問題詳情：

如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別交於A（﹣1，0），B（5，0）兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在第二象限內取一點C，作CD垂直X軸於點D，連接AC，且AD=5，CD=8，將Rt△ACD沿x軸向右平移m個單位，當點C落在拋物線上時，求m的值；

（3）在（2）的條件下，當點C第一次落在拋物線上記為點E，點P是拋物線對稱軸上一點．試探究：在拋物線上是否存在點Q，使以點B、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請出點Q的座標；若不存在，請説明理由．

【回答】

【解答】解：

（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別交於A（﹣1，0），B（5，0）兩點，

∴，解得，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+4x+5；

（2）∵AD=5，且OA=1，

∴OD=6，且CD=8，

∴C（﹣6，8），

設平移後的點C的對應點為C′，則C′點的縱座標為8，

代入拋物線解析式可得8=﹣x2+4x+5，解得x=1或x=3，

∴C′點的座標為（1，8）或（3，8），

∵C（﹣6，8），

∴當點C落在拋物線上時，向右平移了7或9個單位，

∴m的值為7或9；

（3）∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，

∴拋物線對稱軸為x=2，

∴可設P（2，t），

由（2）可知E點座標為（1，8），

①當BE為平行四邊形的邊時，連接BE交對稱軸於點M，過E作EF⊥x軸於點F，過Q作對稱軸的垂線，垂足為N，如圖，

則∠BEF=∠BMP=∠QPN，

在△PQN和△BEF中

∴△PQN≌△BEF（AAS），

∴NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4，

設Q（x，y），則QN=|x﹣2|，

∴|x﹣2|=4，解得x=﹣2或x=6，

當x=﹣2或x=6時，代入拋物線解析式可求得y=﹣7，

∴Q點座標為（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）；

②當BE為對角線時，

∵B（5，0），E（1，8），

∴線段BE的中點座標為（3，4），則線段PQ的中點座標為（3，4），

設Q（x，y），且P（2，t），

∴x+2=3×2，解得x=4，把x=4代入拋物線解析式可求得y=5，

∴Q（4，5）；

綜上可知Q點的座標為（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題