如圖所示，拋物線y=ax2+bx﹣3與x軸交於A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交於點C．（1）求拋物線...

問題詳情：

如圖所示，拋物線y=ax2+bx﹣3與x軸交於A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交於點C．

（1）求拋物線的解析式；   

（2）如圖所示，直線BC下方的拋物線上有一點P，過點p作PE⊥BC於點E，作PF平行於x軸交直線BC於點F，求△PEF周長的最大值；   

（3）已知點M是拋物線的頂點，點N是y軸上一點，點Q是座標平面內一點，若點P是拋物線上一點，且位於拋物線的對稱軸右側，是否存在以P、M、N、Q為頂點且以PM為邊的正方形？若存在，直接寫出點P的橫座標；若不存在，説明理由．   

【回答】

（1）解：把A（﹣1，0），B（3，0）兩點座標代入拋物線y=ax2+bx﹣3， 得到 ， 解得 ， ∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3． （2）解：如圖1中，連接PB、PC．設P（m，m2﹣2m﹣3）， ∵B（3，0），C（0，﹣3）， ∴OB=OC， ∴∠OBC=45°， ∵PF∥OB， ∴∠PFE=∠OBC=45°， ∵PE⊥BC， ∴∠PEF=90°， ∴△PEF是等腰直角三角形， ∴PE最大時，△PEF的面積中點，此時△PBC的面積最大， 則有S△PBC=S△POB+S△POC﹣S△BOC= •3•（﹣m2+2m+3）+ •3•m﹣ =﹣ （m﹣ ）2+ ， ∴m= 時，△PBC的面積最大，此時△PEF的面積也最大， 此時P（ ，﹣ ）， ∵直線BC的解析式為y=x﹣3， ∴F（﹣ ，﹣ ）， ∴PF= ， ∵△PEF是等腰直角三角形， ∴EF=EP= ， ∴C△PEF最大值= + ． （3）解：①如圖2中， 當N與C重合時，點N關於對稱軸的對稱點P，此時思想MNQP是正方形，易知P（2，﹣3）．點P橫座標為2， ②如圖3中，當四邊形PMQN是正方形時，作PF⊥y軸於N，ME∥x軸，PE∥y軸． 易知△PFN≌△PEM， ∴PF=PE，設P（m，m2﹣2m﹣3）， ∵M（1，﹣4）， ∴m=m2﹣2m﹣3﹣（﹣4）， ∴m= 或 （捨棄）， ∴P點橫座標為 所以滿足條件的點P的橫座標為2或 ．                    【考點】二次函數的最值，待定係數法求二次函數解析式，等腰三角形的判定與*質，正方形的判定與*質，軸對稱的*質                【解析】分析：（1）把A，B兩點座標代入拋物線，即可求出此函數解析式。 （2）由B（3，0），C（0，﹣3）兩點座標，可得出△OBC是等腰直角三角形，根據已知PE⊥BC，PF∥x軸，可*得△PEF是等腰直角三角形，則PE最大時，△PEF的面積中點，此時△PBC的面積最大，求出S△PBC與m的函數關係式，求出其頂點座標，即可得到△PBC的面積最大時m的值，再求出直線BC的解析式，即可求得點F的座標，求出PF、EF、EP的長，即可△PEF周長的最大值。 （3）①當N與C重合時，點N關於對稱軸的對稱點P，此時思想MNQP是正方形，易知P點座標；②當四邊形PMQN是正方形時，作PF⊥y軸於N，ME∥x軸，PE∥y軸．易知△PFN≌△PEM，得到F=PE，建立方程，求解即可得到滿足條件的點P的橫座標。  

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：綜合題