如圖1，拋物線y=﹣x2﹣4x+5與x軸交於點A、B兩點，與y軸交於點C，點D為拋物線的頂點．（1）求直線AC...

問題詳情：

如圖1，拋物線y=﹣x2﹣4x+5與x軸交於點A、B兩點，與y軸交於點C，點D為拋物線的頂點．

（1）求直線AC的解析式及頂點D的座標；

（2）連接CD，點P是直線AC上方拋物線上一動點（不與點A、C重合），過P作PE∥x軸交直線AC於點E，作PF∥CD交直線AC於點F，當線段PE+PF取最大值時，在拋物線對稱軸上找一點L，在y軸上找一點K，連接OL，LK，PK，求線段OL+LK+PK的最小值，並求出此時點L的座標．

（3）如圖2，點M（﹣2，﹣1）為拋物線對稱軸上一點，點N（2，7）為直線AC上一點，點G為直線AC與拋物線對稱軸的交點，連接MN，AM．點H是線段MN上的一個動點，連接GH，將△MGH沿GH翻折得到△M′GH（點M的對稱點為M′），問是否存在點H，使得△M′GH與△NGH重合部分的圖形為直角三角形，若存在，請求出NH的長，若不存在，請説明理由．

【回答】

【解答】解：（1）令y=0，則﹣x2﹣4x+5=0，解得x=﹣5或1，

∴A（﹣5，0），B（1，0），

令x=0，則y=5，

∴C（0，5），

設直線AC解析式為y=kx+b，則有，解得，

∴直線AC解析式為y=x+5．

∵y=﹣x2﹣4x+5=﹣（x+2）2+9，

∴頂點D座標（﹣2，9）．

（2）（方法一）如圖1中，連接PC、PA，作PT⊥AC於T．

∵點P在運動過程中，∠PEF，∠PFE是不變的，

∴當高PT最大時，PE、PF最大，即PE+PF最大，此時△PAC的面積最大，設P（m，﹣m2﹣4m+5），

∵S△PAC=S△PAO+S△PCO﹣S△AOC=×5×（﹣m2﹣4m+5）+×5×（﹣m）﹣×5×5=﹣m2﹣m=﹣（m+）2+，

∵﹣＜0，

∴m=﹣時，△PAC面積最大，此時P（﹣，），

方法二，設對稱軸交AC於H，作PG∥y軸交AC於G．

∵A（﹣5，0），C（0，5），

∴直線AC的解析式為y=x+5，

設P（m，﹣m2﹣4m+5），則G（m，m+5），易知PG=PE=﹣m2﹣4m+5﹣m﹣5=﹣m2﹣5m，

∵CD==2，DH=6，

由△PFG∽△DCH，得=，即=，

∴PF=﹣m2﹣m，

∴PE+PF=﹣（1+）m2﹣（5+）m，

∵﹣（1+）＜0，

∴m=﹣=﹣時，PE+PF的值最大．此時P（﹣，），

作點O關於對稱軸的對稱點O′，O′關於y軸的對稱點O″，連接PO″交y軸於K，連接O′K交對稱軸於L．此時OL+LK+PK最短．

理由：∵LO=LO′，KO′=KO″，

∴LO+LK+PK=（LO′+KL）+PL=KO′+PK=KO″+PK=PO″，

∴LO+LK+PK最短．（兩點之間線段最短），此時最小值==．

∵O″（4，0），

∴可得直線PO″的解析式為y=﹣x+，

∴點K座標（0，），∵O′（﹣4，0），

∴直線O′K解析式為：y=x+，

∵x=﹣2時，y=，

∴點L座標（﹣2，）．

（3）存在．

①如圖2中，重疊部分是△GHT，當∠GHT=90°時，

∵M（﹣2，﹣1），N（2，7），

∴可得直線MN的解析式為y=2x+3，

∵G（﹣2，），GH⊥MN，

∴可得直線GH的解析式為y=﹣x+，

由解得，

∴點H座標（﹣，），

∴NH==．

②如圖3中，重疊部分是△GHT，當∠GTH=90°時，作HE⊥GM於E．

∵∠HGT=∠HGE，HT⊥GT，HE⊥GE，

∴HT=HE，設HT=HE=x，

由①可知，GT=GE==，TM=，MN=4，

由△MEH∽△MTG，得到， =，

∴=，

∴MH=﹣，

∴HN=MN﹣MH=+．

③如圖4中，重疊部分是△GHT，當∠GTH=90°時，作GF⊥MN於F．

由②可知，GF=GT=，FN=，GN==，

由△NTH∽△NFG得=，

∴=，

∴NH=﹣．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：綜合題