已知圓C：（x-3）2+（y-4）2=4．（Ⅰ）過原點O（0，0）作圓C的切線，切點分別為H、K，求直線HK的...

問題詳情：

已知圓C：（x-3）2+（y-4）2=4．

（Ⅰ）過原點O（0，0）作圓C的切線，切點分別為H、K，求直線HK的方程；

（Ⅱ）設定點M（-3，8），動點N在圓C上運動，以CM，CN為領邊作平行四邊形MCNP，求點P的軌跡方程；

（Ⅲ）平面上有兩點A（1，0），B（-1，0），點P是圓C上的動點，求|AP|2+|BP|2的最小值；

（Ⅳ）若Q是x軸上的動點，QR，QS分別切圓C於R，S兩點．試問：直線RS是否恆過定點？若是，求出定點座標，若不是，説明理由．

【回答】

【詳解】（Ⅰ）由圓C：（x-3）2+（y-4）2=4，得圓心C（3，4），

則以OC為直徑的圓的方程為，

聯立，得3x+4y-21=0．

∴直線HK的方程為3x+4y-21=0；

（Ⅱ）設P（x，y），圓上的動點N（x0，y0），則

線段CP的中點座標為（，），線段MN的中點座標為（，），

又∵平行四邊形的對角線互相平分，

∴=，=，

可得x0=x+6，y0=y-4．

∵N（x0，y0），即N（x+6，y-4）在圓上，

∴N點座標應滿足圓的方程，

則點P的軌跡方程為：（x+3）2+（y-8）2=4（x）；

（Ⅲ）設P（x，y），由兩點間的距離公式知：|AP|2+|BP|2=2（x2+y2）+2=2|OP|2+2．

又P為圓上的點，∴|OP|min=|OC|-r=-2=3，

∴（|AP|2+|BP|2）min=20；

（Ⅳ）由題意∠CSQ=∠CRQ=，則R，S在以QC為直徑的圓上，

設Q（a，0），則以QC為直徑的圓的方程：（x-）2+（y-2）2=，

即x2+y2-（a+3）x-4y+3a=0，

與圓C：x2+y2-6x-8y+21=0聯立得：-a（x-3）+3x+4y-21=0，

故無論a取何值時，直線RS恆過定點（3，3）．

知識點：圓與方程

題型：綜合題