定義：如圖1，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交於A，B兩點，點P在該拋物線上（P點與A、B兩點不重...

問題詳情：

定義：如圖1，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交於A，B兩點，點P在該拋物線上（P點與A、B兩點不重合），如果△ABP的三邊滿足AP2+BP2=AB2，則稱點P為拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的勾股點.

(1)直接寫出拋物線y=﹣x2+1的勾股點的座標.

(2)如圖2，已知拋物線C：y=ax2+bx（a≠0）與x軸交於A，B兩點，點P（1，）是拋物線C的勾股點，求拋物線C的函數表達式.

(3)在(2)的條件下，點Q在拋物線C上，求滿足條件S△ABQ=S△ABP的Q點（異於點P）的座標.

【回答】

解：(1)拋物線y=﹣x2+1的勾股點的座標為（0，1）；

(2)拋物線y=ax2+bx過原點，即點A（0，0），

如圖，作PG⊥x軸於點G，

∵點P的座標為（1，），

∴AG=1、PG=，PA===2，

∵tan∠PAB==，

∴∠PAG=60°，

在Rt△PAB中，AB===4，

∴點B座標為（4，0），

設y=ax（x﹣4），

將點P（1，）代入得：a=﹣，

∴y=﹣x（x﹣4）=﹣x2+x；

(3)①當點Q在x軸上方時，由S△ABQ=S△ABP知點Q的縱座標為，

則有﹣x2+x=，

解得：x1=3，x2=1（不符合題意，捨去），

∴點Q的座標為（3，）；

②當點Q在x軸下方時，由S△ABQ=S△ABP知點Q的縱座標為﹣，

則有﹣x2+x=﹣，

解得：x1=2+，x2=2﹣，

∴點Q的座標為（2+，﹣）或（2﹣，﹣）；

綜上，滿足條件的點Q有3個：（3，）或（2+，﹣）或（2﹣，﹣）．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：綜合題