問題詳情:
古希臘數學家畢達哥拉斯認為:“一切平面圖形中最美的是圓”.請研究如下美麗的圓.如圖,線段AB是⊙O的直徑,延長AB至點C,使BC=OB,點E是線段OB的中點,DE⊥AB交⊙O於點D,點P是⊙O上一動點(不與點A,B重合),連接CD,PE,PC.
(1)求*:CD是⊙O的切線;
(2)小明在研究的過程中發現是一個確定的值.回答這個確定的值是多少?並對小明發現的結論加以*.
【回答】
解:(1)連接OD、DB,
∵點E是線段OB的中點,DE⊥AB交⊙O於點D,
∴DE垂直平分OB,
∴DB=DO.
∵在⊙O中,DO=OB,
∴DB=DO=OB,
∴△ODB是等邊三角形,
∴∠BDO=∠DBO=60°,
∵BC=OB=BD,且∠DBE為△BDC的外角,
∴∠BCD=∠BDC=∠DBO.
∵∠DBO=60°,
∴∠CDB=30°.
∴∠ODC=∠BDO+∠BDC=60°+30°=90°,
∴CD是⊙O的切線;
(2)答:這個確定的值是.
連接OP,如圖:
由已知可得:OP=OB=BC=2OE.
∴==,
又∵∠COP=∠POE,
∴△OEP∽△OPC,
∴==.
【分析】(1)連接OD、DB,由已知可知DE垂直平分OB,則DB=DO,再由圓的半徑相等,可得DB=DO=OB,即△ODB是等邊三角形,則∠BDO=60°,再由等腰三角形的*質及三角形的外角*質可得∠CDB=30°,從而可得∠ODC=90°,按照切線的判定定理可得結論;
(2)連接OP,先由已知條件得OP=OB=BC=2OE,再利用兩組邊成比例,夾角相等來*△OEP∽△OPC,按照相似三角形的*質得出比例式,則可得*.
知識點:各地中考
題型:解答題