如圖1，正方形OABC的邊長為12，點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，雙曲線y=（x＞0）與邊BC、AD分別...

問題詳情：

如圖1，正方形OABC的邊長為12，點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，雙曲線y=（x＞0）與邊BC、AD分別交於點D、E，且BD=AE．

（1）求k的值；

（2）如圖2，若點N為雙曲線y=上正方形OABC內部一動點，過點N作y軸的垂線，交AC於點F，交AB於點G，過點F作x軸的垂線交雙曲線y=於點M．設點N的縱座標為n．

①若n=8，求*：△BMN是直角三角形；

②若去掉①中的條件“n=8”，△BMN是否仍為直角三角形？請*你的結論．

【回答】

解：（1）∵正方形OABC的邊長為12，

∴A（12，0），C（0，12），B（12，12），

∴BC=12，

設點D（m，12），

∴CD=m，

∴BD=BC﹣CD=12﹣m，

∵AE=BD=12﹣m，

∴E（12，12﹣m），

∵D，E在反比例函數y=，

∴k=12m=12（12﹣m），

∴m=6，

∴k=72；

（2）當n=8時，

∴G（12，8），

∵FG∥x軸，

∴點F，N的縱座標為8，

∵點N在反比例函數y=上，

∴N（9，8），

∵A（12，0），C（0，12），

∴直線AC的解析式為y=﹣x+12，

∵點F在直線AC上，

∴F（4，8），

∵FM⊥x軸交反比例函數於M，

∴M（4，18），

∵B（12，12），

∴BM2=（12﹣4）2+（12﹣18）2=100，BN2=（12﹣9）2+（12﹣8）2=25，MN2=（9﹣4）2+（8﹣18）2=125，

∴BM2+BN2=MN2，

∴△BMN是直角三角形；

（3）同（2）的方法得，N（，n），M（12﹣n，），

∵B（12，12），

∴BM2=（12﹣n﹣12）2+（﹣12）2=n2+（）2﹣24×+144

BN2=（﹣12）2+（n﹣12）2=（﹣12）2+n2﹣24n+144

MN2=（12﹣n﹣）2+（﹣n）2

=（﹣12）2+2n（﹣12）+n2+（）2﹣2n×+n2

=（﹣12）2+144﹣24n+n2+（）2﹣2n×+n2．

∴BM2+BN2﹣MN2

=n2+（）2﹣24×+144+（﹣12）2+n2﹣24n+144﹣[（﹣12）2+144﹣24n+n2+（）2﹣2n×+n2]

=n2+（）2﹣24×+144+（﹣12）2+n2﹣24n+144﹣（﹣12）2﹣144+24n﹣n2﹣（）2+2n×﹣n2

=﹣24×+144+2n×=﹣2（12﹣n）×+144=0，

∴BM2+BN2=MN2，

∴△BMN是直角三角形．

知識點：反比例函數

題型：解答題