設函數f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0)．(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)...

問題詳情：

設函數f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0)．

(1)求f(x)的最小值h(t)；

(2)若h(t)＜－2t＋m對t∈(0,2)恆成立，求實數m的取值範圍．

【回答】

解　(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1　(x∈R，t＞0)，

∴當x＝－t時，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，

即h(t)＝－t3＋t－1.

(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，

由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1，t＝－1(不合題意，捨去)．

當t變化時g′(t)、g(t)的變化情況如下表：

∴對t∈(0,2)，當t＝1時，g(t)max＝1－m，

∵h(t)<－2t－m對t∈(0,2)恆成立，

也就是g(t)<0，對t∈(0,2)恆成立，

∴只需g(t)max＝1－m<0，∴m>1.

故實數m的取值範圍是(1，＋∞)

知識點：導數及其應用

題型：解答題