已知，拋物線y=ax2+ax+b（a≠0）與直線y=2x+m有一個公共點M（1，0），且a＜b．（1）求b與a...

問題詳情：

已知，拋物線y=ax2+ax+b（a≠0）與直線y=2x+m有一個公共點M（1，0），且a＜b．

（1）求b與a的關係式和拋物線的頂點D座標（用a的代數式表示）；

（2）直線與拋物線的另外一個交點記為N，求△DMN的面積與a的關係式；

（3）a=﹣1時，直線y=﹣2x與拋物線在第二象限交於點G，點G、H關於原點對稱，現將線段GH沿y軸向上平移t個單位（t＞0），若線段GH與拋物線有兩個不同的公共點，試求t的取值範圍．

【回答】

【解答】解：（1）∵拋物線y=ax2+ax+b有一個公共點M（1，0），

∴a+a+b=0，即b=﹣2a，

∴y=ax2+ax+b=ax2+ax﹣2a=a（x+）2﹣，

∴拋物線頂點D的座標為（﹣，﹣）；

（2）∵直線y=2x+m經過點M（1，0），

∴0=2×1+m，解得m=﹣2，

∴y=2x﹣2，

則，

得ax2+（a﹣2）x﹣2a+2=0，

∴（x﹣1）（ax+2a﹣2）=0，

解得x=1或x=﹣2，

∴N點座標為（﹣2，﹣6），

∵a＜b，即a＜﹣2a，

∴a＜0，

如圖1，設拋物線對稱軸交直線於點E，

∵拋物線對稱軸為x=﹣=﹣，

∴E（﹣，﹣3），

∵M（1，0），N（﹣2，﹣6），

設△DMN的面積為S，

∴S=S△DEN+S△DEM=|（﹣2）﹣1|•|﹣﹣（﹣3）|=，

（3）當a=﹣1時，

拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣x+2=﹣（x﹣）2+，

有，

﹣x2﹣x+2=﹣2x，

解得：x1=2，x2=﹣1，

∴G（﹣1，2），

∵點G、H關於原點對稱，

∴H（1，﹣2），

設直線GH平移後的解析式為：y=﹣2x+t，

﹣x2﹣x+2=﹣2x+t，

x2﹣x﹣2+t=0，

△=1﹣4（t﹣2）=0，

t=，

當點H平移後落在拋物線上時，座標為（1，0），

把（1，0）代入y=﹣2x+t，

t=2，

∴當線段GH與拋物線有兩個不同的公共點，t的取值範圍是2≤t＜．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：綜合題