在平面直角座標系中，O為原點，直線y=﹣2x﹣1與y軸交於點A，與直線y=﹣x交於點B，點B關於原點的對稱點為...

問題詳情：

在平面直角座標系中，O為原點，直線y=﹣2x﹣1與y軸交於點A，與直線y=﹣x交於點B，點B關於原點的對稱點為點C．

（Ⅰ）求過B，C兩點的拋物線y=ax2+bx﹣1解析式；

（Ⅱ）P為拋物線上一點，它關於原點的對稱點為Q．

①當四邊形PBQC為菱形時，求點P的座標；

②若點P的橫座標為t（﹣1＜t＜1），當t為何值時，四邊形PBQC面積最大？最大值是多少？並説明理由．

【回答】

【考點】HF：二次函數綜合題．

【分析】（Ⅰ）首先求出A、B、C三點座標，再利用待定係數法可求得拋物線解析式；

（Ⅱ）①當四邊形PBQC為菱形時，可知PQ⊥BC，則可求得直線PQ的解析式，聯立拋物線解析式可求得P點座標；

②過P作PD⊥BC，垂足為D，作x軸的垂線，交直線BC於點E，由∠PED=∠AOC，可知當PE最大時，PD也最大，用t可表示出PE的長，可求得取最大值時的t的值．

【解答】解：

（Ⅰ）聯立兩直線解析式可得，

解得，

∴B點座標為（﹣1，1），

又C點為B點關於原點的對稱點，

∴C點座標為（1，﹣1），

∵直線y=﹣2x﹣1與y軸交於點A，

∴A點座標為（0，﹣1），

設拋物線解析式為y=ax2+bx+c，

把A、B、C三點座標代入可得，

解得，

∴拋物線解析式為y=x2﹣x﹣1；

（Ⅱ）①當四邊形PBQC為菱形時，則PQ⊥BC，

∵直線BC解析式為y=﹣x，

∴直線PQ解析式為y=x，

聯立拋物線解析式可得，

解得或，

∴P點座標為（1﹣，1﹣）或（1+，1+）；

②當t=0時，四邊形PBQC的面積最大．

理由如下：

如圖，過P作PD⊥BC，垂足為D，作x軸的垂線，交直線BC於點E，

則S四邊形PBQC=2S△PBC=2×BC•PD=BC•PD，

∵線段BC長固定不變，

∴當PD最大時，四邊形PBQC面積最大，

又∠PED=∠AOC（固定不變），

∴當PE最大時，PD也最大，

∵P點在拋物線上，E點在直線BC上，

∴P點座標為（t，t2﹣t﹣1），E點座標為（t，﹣t），

∴PE=﹣t﹣（t2﹣t﹣1）=﹣t2+1，

∴當t=0時，PE有最大值1，此時PD有最大值，即四邊形PBQC的面積最大．

【點評】本題考查二次函數的綜合應用、待定係數法、菱形的判定和*質、三角形的面積等知識，解題的關鍵是學會構建二次函數解決最值問題，學會構建方程組確定兩個函數交點座標．學會利用參數解決問題，屬於中考壓軸題．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：綜合題