問題詳情:
如圖1,拋物線y=﹣x2+與直線l1:y=﹣x﹣3交於點A,點A的橫座標為﹣1,直線l1與x軸的交點為D,將直線l1向上平移後得到直線l2,直線l2剛好經過拋物線與x軸正半軸的交點B和與y軸的交點C.
(1)直接寫出點A和點D的座標,並求出點B的座標;
(2)若點M是拋物線第一象限內的一個動點,連接DM,交直線l2於點N,連接AM和AN.設△AMN的面積為S,當S取得最大值時,求出此時點M的座標及S的最大值;
(3)如圖2,動點P以每秒1個單位長度的速度從點O出發,沿*線OB運動;同時,動點Q以每秒個單位長度的速度從點C出發,沿*線CB運動,設運動時間為t(t>0).過P點作PH⊥x軸,交拋物線於點H,當點P、Q、H所組成的三角形是直角三角形時,直接寫出t的值.
【回答】
【考點】二次函數綜合題.
【分析】(1)把點A的橫座標代入直線l1即可求出點A座標,求出直線l2即可求出點B座標.
(2)如圖1中,作MH⊥x軸交直線AD於H,設M(m,﹣m2+m+2)則H(m,﹣ m﹣3),(0<m<4),根據S=S△DMH﹣S△ADN﹣S△AHM=S△DMH﹣S△ADB﹣S△AHM即可解決問題.
(3)分三種情形討論①當∠QPH=90°,②當∠PQH=90°,根據kHQ•kPQ=﹣1,③當∠PHQ=90°,分別列出方程即可.
【解答】解:(1)由題意A(﹣1,﹣),D(﹣6,0).
∵點C(0,2),直線l2∥直線l1,
∴直線l2為y=﹣x+2,令y=0,則x=4,
∴點B座標(4,0).
(2)如圖1中,作MH⊥x軸交直線AD於H,
設M(m,﹣m2+m+2)則H(m,﹣ m﹣3),(0<m<4),
∴MH=﹣m2+4m+5,
S=S△DMH﹣S△ADN﹣S△AHM=S△DMH﹣S△ADB﹣S△AHM=(﹣m2+4m+5)×5﹣=﹣m2+10m=﹣(m﹣2)2+10,
∵a=﹣<0,
∴m=2時,S有最大值,最大值為10.
此時M(2,5).
(3)由題意點P座標(t,0),點Q座標(2t,2﹣t),點H座標(t,﹣t2+t+2).
①當∠QPH=90°時,2﹣t=0,t=2.
②當∠PQH=90°時,kHQ•kPQ=﹣1,∴ •=﹣1,
整理得:2t2﹣15t+18=0,解得t=或6,
③當∠PHQ=90°時,2﹣t=﹣t2+t+2,t=或0(捨棄).
綜上所述t=2或或6或時,△PQH是直角三角形.
【點評】本題考查二次函數綜合題、一次函數、直角三角形等知識,解題的關鍵是學會分類討論,
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:綜合題