問題詳情:
已知橢圓C:+=1(a>b>0)的右焦點F(,0),點M(-,)在橢圓
C上.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)直線l過點F,且與橢圓C交於A,B兩點,過原點O作直線l的垂線,垂足為P,如果△OAB的面積為(λ為實數),求λ的值.
【回答】
解:(1)由題意知c=.
根據橢圓的定義得2a=+,
即a=2.
所以b2=4-3=1.
所以橢圓C的標準方程為+y2=1.
(2)由題意知△ABO的面積S△ABO=|AB|·|OP|=,
整理得λ=|OP|2-.
①當直線l的斜率不存在時,l的方程是x=.
此時|AB|=1,|OP|=,
所以λ=|OP|2-=-1.
②當直線l的斜率存在時,設直線l的方程是y=k(x-),
設A(x1,y1),B(x2,y2),
由
可得(4k2+1)x2-8k2x+12k2-4=0,
顯然Δ>0,
則
因為y1=k(x1-),y2=k(x2-),
所以|AB|=
=
=
=.
所以|OP|2=()2=,
此時,λ=-=-1.
綜上所述,λ的值為-1.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題