已知曲線C的方程為ax2+ay2-2a2x-4y=0(a≠0,a為常數).(1)判斷曲線C的形狀;(2)設曲線...

問題詳情：

已知曲線C的方程為ax2+ay2-2a2x-4y=0(a≠0,a為常數).

(1)判斷曲線C的形狀;

(2)設曲線C分別與x軸,y軸交於點A,B(A,B不同於原點O),試判斷△AOB的面積S是否為定值?並*你的判斷;

(3)設直線l:y=-2x+4與曲線C交於不同的兩點M,N,且|OM|=|ON|,求曲線C的方程.

【回答】

解:(1)將曲線C的方程化為x2+y2-2ax-y=0⇒(x-a)2+(y-)2=a2+,

可知曲線C是以點(a,)為圓心,以為半徑的圓.

(2)△AOB的面積S為定值.

*如下:在曲線C的方程中令y=0,得ax(x-2a)=0,得點A(2a,0),

在曲線C方程中令x=0,

得y(ay-4)=0,

得點B(0,),

所以S=|OA|·|OB|=·|2a|·||=4(定值).

(3)因為圓C過座標原點,

且|OM|=|ON|,

所以OC⊥MN,

所以=,

所以a=±2.

當a=-2時,圓心座標為(-2,-1),圓的半徑為.

圓心到直線l:y=-2x+4的距離

d==>,

直線l與圓C相離,不合題意捨去,

a=2時符合題意.

這時曲線C的方程為x2+y2-4x-2y=0.

知識點：圓與方程

題型：綜合題