問題詳情:
如圖,四邊形 ACDE 是*勾股定理時用到的一個圖形,a 、b 、c 是 RtDABC和 RtDBED 的邊長,已知,這時我們把關於 x 的形如二次方程稱為“勾系一元二次方程”.
請解決下列問題:
(1)寫出一個“勾系一元二次方程”;
(2)求*:關於 x 的“勾系一元二次方程”,必有實數根;
(3)若 x = -1是“勾系一元二次方程” 的一個根,且四邊形 ACDE 的周長是6,求DABC 的面積.
【回答】
(1)(*不唯一)(2)見解析(3)1.
【分析】
(1)直接找一組勾股數代入方程即可;
(2)根據根的判別式即可求解;
(3)根據方程的解代入求出a,b,c的關係,再根據完全平方公式的變形進行求解.
【詳解】
(1)當a=3,b=4,c=5時,
勾系一元二次方程為;
(2)依題意得△=()2-4ab=2c2-4ab,
∵a2+b2=c2,∴2c2-4ab=2(a2+b2)-4ab=2(a-b)2≥0,
即△≥0,故方程必有實數根;
(3)把x=-1代入得a+b=c
∵四邊形 ACDE 的周長是6,
即2(a+b)+ c=6,故得到c=2,
∴a2+b2=4,a+b=2
∵(a+b)2= a2+b2+2ab
∴ab=2,
故DABC 的面積為ab=1.
【點睛】
此題主要考查一元二次方程的應用,解題的關鍵是熟知勾股定理、根的判別式及完全平方公式的應用.
知識點:實際問題與一元二次方程
題型:解答題