問題詳情:
設直線l:y=2x﹣1與雙曲線(,)相交於A、B兩個不
同的點,且(O為原點).
(1)判斷是否為定值,並説明理由;
(2)當雙曲線離心率時,求雙曲線實軸長的取值範圍.
【回答】
解:(Ⅰ)為定值5.
理由如下:y=2x﹣1與雙曲線聯立,
可得(b2﹣4a2)x2+4a2x﹣a2﹣a2b2=0,(b≠2a),
即有△=16a4+4(b2﹣4a2)(a2+a2b2)>0,
化為1+b2﹣4a2>0,設A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=,x1x2=,由(O為原點),可得
x1x2+y1y2=0,即有x1x2+(2x1﹣1)(2x2﹣1)=5x1x2﹣2(x1+x2)+1=0,
即5•﹣2•+1=0,
化為5a2b2+a2﹣b2=0,即有=5,為定值. ......6分
(Ⅱ)由雙曲線離心率時,
即為<<,即有2a2<c2<3a2,
由c2=a2+b2,可得a2<b2<2a2,即<<,
由=5,可得<﹣5<,化簡可得a<,
則雙曲線實軸長的取值範圍為(0,). .......12分
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題