如圖所示的幾何體中，垂直於梯形所在的平面，為的中點，，四邊形為矩形，線段交於點.（1）求*：平面；（2）求二面...

問題詳情：

如圖所示的幾何體中，垂直於梯形所在的平面，為的中點，，四邊形為矩形，線段交於點.

（1）求*：平面；

（2）求二面角的正弦值；

（3）在線段上是否存在一點，使得與平面所成角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，請説明理由.

【回答】

.解：（1）因為四邊形為矩形，所以為的中點.連接，

在中，分別為的中點，所以，……2分

因為平面，平面，

所以平面.              ……4分

（2）易知兩兩垂直，如圖以為原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角座標系.                           ……5分                                

則，所以.                       

設平面的法向量為，

則即解得

令，得

所以平面的一個法向量為.               ……7分

設平面的法向量為，

 ，據此可得  ，

則平面的一個法向量為，        ……8分

，         ……10分

故二面角的正弦值為.                  ……11分

（3）設存在點滿足條件.由，

設，整理得，

則.            ……12分

因為直線與平面所成角的大小為，

所以

解得，                   ……14分     

由知，即點與重合.

故在線段上存在一點，且.        15分

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題