問題詳情：
已知橢圓C：
的離心率為
，且過點A（2，1）．
（1）求C的方程：
（2）點M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足．*：存在定點Q，使得|DQ|為定值．
【回答】
（1）
；（2）詳見解析.
【解析】
【分析】
(1)設出橢圓方程，由題意得到關於a,b,c的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程.
(2)設出點M，N的座標，聯立直線方程與橢圓方程可*得直線MN恆過定點，然後結合直角三角形的*質即可確定滿足題意的點Q的位置.
【詳解】(1)設橢圓方程為：
，由題意可得：
，
解得：
，故橢圓方程為：
.
(2)設點
.因為AM⊥AN，所以
.
整理可得：
①
設MN的方程為y=kx+m，
聯立直線與橢圓方程可得：
，
韋達定理可得：
，
，
，
代入①式有：
，
化簡可得：
，
即
，
據此可得：
或
，
所以直線MN的方程為
或
，
即
或
，
所以直線過定點
或
.
又因為
和A點重合，所以捨去，則直線過定點
.
由於AE為定值，且△AED為直角三角形，AE為斜邊，
所以AE中點Q滿足
為定值（AE長度的一半
）.
由於
，故由中點座標公式可得
.
【點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：
(1)注意觀察應用題設中
每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；
(2)強化有關直線與橢圓聯立得出一元二次方程後的運算能力，重視根與係數之間的關係、弦長、斜率、三角形的面積等問題．
知識點：高考試題
題型：解答題
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