問題詳情:
已知橢圓的離心率為,且過點.
(1)求橢圓的方程;
(2)若,分別為橢圓的上,下頂點,過點且斜率為的直線交橢圓於另一點(異於橢圓的右頂點),交軸於點,直線與直線相交於點.求*:直線的斜率為定值.
【回答】
(1);(2)*見解析.
【解析】
【分析】
(1)根據條件求出,即可寫出橢圓方程;
(2)設直線的方程為,聯立直線與橢圓,可表示出座標,繼而得出直線的方程,令可得的座標,即可求出直線的斜率並得出定值.
【詳解】
(1)設橢圓的焦距為,則①,
②,又③,
由①②③解得,,,
所以橢圓的標準方程為.
(2)*:易得,,直線的方程為,因為直線不過點,所以,
由,得,
所以,從而,,
直線的斜率為,故直線的方程為.
令,得,
直線的斜率.
所以直線的斜率為定值.
【點睛】
本題考查橢圓的方程的求法,考查橢圓中的定值問題,屬於中檔題.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題