如圖，已知橢圓M：+=1（a＞b＞0）的離心率為，且經過過點P（2，1）．（1）求橢圓M的標準方程；（2）設點...

問題詳情：

如圖，已知橢圓M： +=1（a＞b＞0）的離心率為，且經過過點P（2，1）．

（1）求橢圓M的標準方程；

（2）設點A（x1，y1），B（x2，y2）是橢圓M上異於頂點的任意兩點，直線OA，OB的斜率分別為k1，k2，且k1k2=﹣．

①求x12+x22的值；

②設點B關於x軸的對稱點為C（點C，A不重合），試求直線AC的斜率．

【回答】

（1）由題意可得e==， +=1，a2﹣b2=c2，

解得a=2，b=，

可得橢圓標準方程為+=1；（3分）

（2）①由題意可得k1k2==﹣，

即為x12x22=16y12y22，

又點A（x1，y1），B（x2，y2）是橢圓M上異於頂點的任意兩點，

可得4y12=8﹣x12，4y22=8﹣x22，

即有x12x22=（8﹣x12）（8﹣x22），

化簡可得x12+x22=8；（6分）

②由題意可得C（x2，﹣y2），

由4y12=6﹣x12，4y22=6﹣x22，

可得y12+y22==，（8分）

由x12+x22=（x1﹣x2）2+2x1x2=6，

可得（x1﹣x2）2=6﹣2x1x2，

由y12+y22=（y1+y2）2﹣2y1y2=，

可得（y1+y2）2=+2y1y2=（3+4y1y2），（9分）

由=﹣，即x1x2=﹣4y1y2，

可得（x1﹣x2）2=6﹣2x1x2=6+8y1y2，（10分）

則直線AC的斜率為kAC==±=±．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題