如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的圖象過點A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）．（1）求拋物線的解析式；...

問題詳情：

如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的圖象過點A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得△PAC的周長最小，若存在，請求出點P的座標及△PAC的周長；若不存在，請説明理由；

（3）在（2）的條件下，在x軸上方的拋物線上是否存在點M（不與C點重合），使得S△PAM＝S△PAC？若存在，請求出點M的座標；若不存在，請説明理由．

【回答】

【分析】（1）由於條件給出拋物線與x軸的交點A（﹣1，0）、B（3，0），故可設交點式y＝a（x+1）（x﹣3），把點C代入即求得a的值，減小計算量．

（2）由於點A、B關於對稱軸：直線x＝1對稱，故有PA＝PB，則C△PAC＝AC+PC+PA＝AC+PC+PB，所以當C、P、B在同一直線上時，C△PAC＝AC+CB最小．利用點A、B、C的座標求AC、CB的長，求直線BC解析式，把x＝1代入即求得點P縱座標．

（3）由S△PAM＝S△PAC可得，當兩三角形以PA為底時，高相等，即點C和點M到直線PA距離相等．又因為M在x軸上方，故有CM∥PA．由點A、P座標求直線AP解析式，即得到直線CM解析式．把直線CM解析式與拋物線解析式聯立方程組即求得點M座標．

【解答】解：（1）∵拋物線與x軸交於點A（﹣1，0）、B（3，0）

∴可設交點式y＝a（x+1）（x﹣3）

把點C（0，3）代入得：﹣3a＝3

∴a＝﹣1

∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3

∴拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3

（2）在拋物線的對稱軸上存在一點P，使得△PAC的周長最小．

如圖1，連接PB、BC

∵點P在拋物線對稱軸直線x＝1上，點A、B關於對稱軸對稱

∴PA＝PB

∴C△PAC＝AC+PC+PA＝AC+PC+PB

∵當C、P、B在同一直線上時，PC+PB＝CB最小

∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）

∴AC＝，BC＝

∴C△PAC＝AC+CB＝最小

設直線BC解析式為y＝kx+3

把點B代入得：3k+3＝0，解得：k＝﹣1

∴直線BC：y＝﹣x+3

∴yP＝﹣1+3＝2

∴點P（1，2）使△PAC的周長最小，最小值為．

（3）存在滿足條件的點M，使得S△PAM＝S△PAC．

∵S△PAM＝S△PAC

∴當以PA為底時，兩三角形等高

∴點C和點M到直線PA距離相等

∵M在x軸上方

∴CM∥PA

∵A（﹣1，0），P（1，2），設直線AP解析式為y＝px+d

∴   解得：

∴直線AP：y＝x+1

∴直線CM解析式為：y＝x+3

∵   解得：（即點C），

∴點M座標為（1，4）

知識點：各地中考

題型：綜合題