已知拋物線y＝x2＋4x＋3交x軸於A、B兩點(點A在點B的左側)，交y軸於點C，拋物線的對稱軸l交x軸於點E...

問題詳情：

已知拋物線y＝x2＋4x＋3交x軸於A、B兩點(點A在點B的左側)，交y軸於點C，拋物線的對稱軸l交x軸於點E.

(1)求拋物線的對稱軸及點A的座標；

(2)點P為座標系內一點，且以點A、B、C、P為頂點的四邊形為平行四邊形，求出所有滿足條件的P點的座標．

(3)連接CA與L交於點D，M為拋物線上一點，是否存在點M，使經過點C、M的直線恰好將四邊形DEOC的面積平分？若存在，請求出直線CM的解析式；若不存在，請説明理由．

第8題圖

【回答】

解：(1)對稱軸為直線x＝－＝－2，

當y＝0時，有x2＋4x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝－3，

∴點A的座標為(－3，0)；

(2)由y＝x2＋4x＋3可知A(－3，0)，B(－1，0)，C(0，3)，

①當AC是平行四邊形的對角線時，將點C向左平移兩個單位長度即是P點，即P(－2，3)；

②當BC是平行四邊形的對角線時，將點C向右平移兩個單位長度即是P點，即P(2，3)；

③當AB是平行四邊形的對角線時，將點A向下平移三個單位長度再向左平移1個單位長度即是P點，即P(－4，－3)；

滿足條件的點P有3個，分別為(－2，3)，(2，3)，(－4，－3)；

(3)存在；

∵點C的座標為(0，3)，

又DE∥y軸，AO＝3，EO＝2，AE＝1，CO＝3，

∴△AED∽△AOC，

∴＝，即＝，

∴DE＝1，

∴S四邊形DEOC＝×(1＋3)×2＝4，

在OE上找點F，使OF＝，

此時S△COF＝××3＝2，

直線CF把四邊形DEOC分成面積相等的兩部分，交拋物線於點M，

設直線CM的解析式為y＝kx＋3，它經過點F(－，0)，

則－k＋3＝0，解得k＝，

∴直線CM的解析式為y＝x＋3.

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題