如圖，直線y＝5x＋5交x軸於點A，交y軸於點C，過A，C兩點的二次函數y＝ax2＋4x＋c的圖象交x軸於另一...

問題詳情：

如圖，直線y＝5x＋5交x軸於點A，交y軸於點C，過A，C兩點的二次函數y＝ax2＋4x＋c的圖象交x軸於另一點B.

(1)求二次函數的表達式；

(2)連接BC，點N是線段BC上的動點，作ND⊥x軸交二次函數的圖象於點D，求線段ND長度的最大值；

(3)若點H為二次函數y＝ax2＋4x＋c圖象的頂點，點M(4，m)是該二次函數圖象上一點，在x軸，y軸上分別找點F，E，使四邊形HEFM的周長最小，求出點F、E的座標．

【回答】

 解：(1)∵直線y＝5x＋5交x軸於點A，交y軸於點C，

∴A(－1，0)，C(0，5)，

∵二次函數y＝ax2＋4x＋c的圖象過A，C兩點，

∴，

解得，

∴二次函數的表達式為y＝－x2＋4x＋5；

(2)如解圖①，

第2題解圖①

∵點B是二次函數的圖象與x軸的交點，

∴由二次函數的表達式為y＝－x2＋4x＋5得，點B的座標B(5，0)，

設直線BC解析式為y＝kx＋b，

∵直線BC過點B(5，0)，C(0，5)，

∴，

解得，

∴直線BC解析式為y＝－x＋5，

設ND的長為d，N點的橫座標為n，

則N點的座標為(n，－n＋5)，

D點的座標為(n，－n2＋4n＋5)，

則d＝|－n2＋4n＋5－(－n＋5)|，

由題意可知：－n2＋4n＋5＞－n＋5，

∴d＝－n2＋4n＋5－(－n＋5)＝－n2＋5n＝－(n－)2＋，

∴當n＝時，線段ND長度的最大值是；

（3）∵點M(4，m)在拋物線y＝－x2＋4x＋5上，

∴m＝5，∴M(4，5)．

∵拋物線y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，

∴頂點座標為H(2，9)，

如解圖②，作點H(2，9)關於y軸的對稱點H1，則點H1的座標為H1(－2，9)；作點M(4，5)關於x軸的對稱點M1，則點M1的座標為M1(4，－5)，連接H1M1分別交x軸於點F，y軸於點E，∴H1M1＋HM的長度是四邊形HEFM的最小周長，則點F，E即為所求的點．

第2題解圖②

設直線H1M1的函數表達式為y＝mx＋n，

∵直線H1M1過點H1(－2，9)，M1(4，－5)，

∴，

解得，

∴y＝－x＋，

∴當x＝0時，y＝，即點E座標為(0，)，

當y＝0時，x＝，即點F座標為(，0)，

故所求點F，E的座標分別為(，0)，(0，)．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題