問題詳情:
在平面直角座標系中,已知橢圓的離心率為,且橢圓短軸的一個頂點到一個焦點的距離等於.
(1)求橢圓的方程;
(2)設經過點的直線交橢圓於,兩點,點.
①若對任意直線總存在點,使得,求實數的取值範圍;
②設點為橢圓的左焦點,若點為的外心,求實數的值.
【回答】
【詳解】解:(1)依題意解得所以,
所以橢圓的方程為.
(2)設直線的方程為,
代入橢圓的方程,消去,得.
因為直線交橢圓於兩點,所以,
解得.
設,,則有,.
①設中點為,
則有,.
當時,因為,所以,即.
解得.
當時,可得,符合.
因此.
由,解得.
②因為點為的外心,且,所以.
由
消去,得,所以,也是此方程的兩個根.
所以,.
又因為,,所以,解得.
所以.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題