問題詳情:
已知橢圓C:的離心率為,短軸一個端點到右焦點的距離為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設直線與橢圓C交於A、B兩點,以弦為直徑的圓過座標原點,試探討點到直線的距離是否為定值?若是,求出這個定值;若不是,説明理由.
【回答】
解:(1)設橢圓的半焦距為,依題意 , …………… 3分
所求橢圓方程為.……………………………………………………… 4分
(2)設,.
①當軸時,設方程為:,此時兩點關於軸對稱,
又以為直徑的圓過原點,設代人橢圓方程得:………………6分
②當與軸不垂直時,
設直線的方程為.聯立,
整理得,
,.…………………………………………………9分
又。
由以為直徑的圓過原點,則有。 即: 故滿足: 得: …………………….10分
所以=。又點到直線的距離為: 。
綜上所述:點到直線的距離為定值。…………………………………………13分
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題