在直角座標系中，橢圓的中心在座標原點，其右焦點為，且點在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）設橢圓的左、右頂點分...

問題詳情：

在直角座標系中， 橢圓的中心在座標原點，其右焦點為，且點 在橢圓上．

（1）求橢圓的方程；

（2）設橢圓的左、右頂點分別為，是橢圓上異於的任意一點，直線交橢圓於另一點，直線交直線於點， 求*：三點在同一條直線上

【回答】

【詳解】（1）（法一）設橢圓的方程為，

∵一個焦點座標為，∴另一個焦點座標為，

∴由橢圓定義可知，

∴，∴，∴橢圓的方程為.

（法二）不妨設橢圓的方程為（），

∵一個焦點座標為，∴，①

又∵點在橢圓上，∴，②

聯立方程①，②，解得，，

∴橢圓的方程為.

（2）設，，直線的方程為，

由方程組消去，並整理得：，

∵，∴，，

∵直線的方程可表示為，

將此方程與直線聯立，可求得點的座標為，

∴，

∵

 ，所以，

又向量和有公共點，故，，三點在同一條直線上.

【點睛】本題主要考查橢圓的標準方程的求解、及直線與圓錐曲線的位置關係的應用問題,解答此類題目，通常聯立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，應用一元二次方程根與係數的關係進行求解，此類問題易錯點是複雜式子的變形能力不足，導致錯解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等。

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題