如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交於A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交於點C，拋物線的頂點為M，對稱...

問題詳情：

如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交於A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交於點C，拋物線的頂點為M，對稱軸交x軸於E，點D在第一象限，且在拋物線的對稱軸上，DE＝OC，DM＝．

（1）求拋物線的對稱軸方程；

（2）若DA＝DC，求拋物線的解析式；

（3）在（2）的條件下，點P是拋物線對稱軸上的一個動點，若在直線BM上只存在一個點Q，使∠PQC＝45°，求點P的座標．

【回答】

（1）x＝5；（2）y＝x2﹣x+4；（3）點P的座標為（5，9）或（5，）．

【分析】

（1）D點座標（ ，c），M點座標（， ）， ，化簡求出b值；代入計算， 即是對稱軸的方程．

（2）利用韋達定理求出AE，AE＝AB，AB＝＝＝；在R t 中， DE＝c，AD＝DC＝5，由勾股定理得：AD2＝DE2+AE2，即可求解．

（3）作的外接圓，圓心點K 到點C、Q距離相等，構造一個含座標參數的方程，線段KQ只有一個解，利用根的判別式，計算出P點座標．

【詳解】

（1）∵OC＝c，DE＝OC＝c，點D在拋物線對稱軸上，

∴點D縱座標為c，

∵點M是拋物線頂點，

∴點M的縱座標為，

則DM＝c﹣（c﹣b2）＝， ；

解得b＝（捨去），或b＝﹣，

拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝=5；

（2）由（1）可知拋物線的表達式為y＝x2﹣x+c，

令y＝x2﹣x+c＝0，設A、B兩點橫座標為xA、xB，則xA+xB＝10，xAxB＝4c，

則AB＝＝＝，

在Rt中，AE＝AB，DE＝c，AD＝DC＝5，

由勾股定理得：AD2＝DE2+AE2， ，

25＝c2+25﹣4c，化簡得： ，解得c＝4，

故拋物線的表達式為y＝x2﹣x+4；

（3）如圖，連接PQ、PC、QC，作的外接圓K，連接KP、KC，

過點K作y軸的垂線，交y軸於點F，交拋物線的對稱軸於點N，

設點K的座標為（m，n），點P（5，t），

∵∠PQC＝45°，故∠PKC＝90°，且PK＝CK＝QK，

∵∠FKC+∠NKP＝90°，∠NKP+∠NPK＝90°，

∴∠FKC＝∠NPK，

∴Rt≌Rt（AAS），

∴CF＝NK，PN＝MK，

∴4﹣n＝5﹣m，t﹣n＝m，

∴n＝m﹣1，t＝2m﹣1，

故點K的座標為（m，m﹣1），點P的座標為（5，2m﹣1）．

由拋物線的表達式知，頂點M的座標為（5，﹣），點B的座標為（8，0），

由點B、M的座標得，直線MB的表達式為y＝x﹣6，

設點Q的座標為（r，r﹣6），

由KC2＝KQ2得，m2+（m﹣1﹣4）2＝（m﹣r）2+（m﹣1﹣r+6）2，

整理得：r2﹣（m+）r+20m＝0，關於r的一元二次方程，

∵直線BM上只存在一個點Q，r的解只有一個，

∴△＝（m+）2﹣4××20m＝0，

解得m＝5或，

點P座標（5，t），t＝2m﹣1，當m＝5時，t＝9；

當m＝時，t＝；

故點P的座標為（5，9）或（5，）．

【點睛】

本題考查勾股定理，一元二次方程根的判別式，二次函數圖像*質，圓與直線關係；涵蓋知識點多，理解題中“直線BM上只存在一個點Q”隱含的條件，即的外接圓與直線BM相切，這是解決第三個問題的關鍵．

知識點：解一元二次方程

題型：解答題