如圖,拋物線y=與x軸交於A、B兩點(點A在點B的左側),與y軸交於點C,連接BC,點D為拋物線對稱軸上一動點...

問題詳情：

如圖,拋物線y=與x軸交於A、B兩點(點A在點B的左側),與y軸交於點C,連接BC,點D為拋物線對稱軸上一動點

(1)求直線BC的函數表達式;

(2)連接0D、CD,求OCD周長的最小值;

(3)在拋物線上是否存在一點E.使以B 、C、D、E為頂點的四邊形是以BC為邊的平行四邊形?若存在,請直接寫出E點的座標;若不存在,請説明理由.

【回答】

解：(1)∵y＝－x2＋2x＋6＝－(x－6)(x＋2)，

令x＝0，得C(0，6)，令y＝0，得A(－2，0)，B(6，0)，(1分)

設直線BC的函數表達式為y＝ax＋b，

將點B，C的座標代入表達式，得

，解得.(2分)

∴直線BC的函數表達式為y＝－x＋6；(3分)

(2)∵y＝－x2＋2x＋6＝－(x－2)2＋8，

∴拋物線的對稱軸為直線x＝2.(4分)

∵OC的值固定，

∴要求△OCD周長的最小值，只需求出OD＋CD的最小值．(5分)

如解圖①，作點O關於拋物線對稱軸的對稱點O′，連接O′C交拋物線對稱軸於點D，此時OD＋CD有最小值，即O′C的長，

(解圖①)

則OD＋CD＝O′D＋CD≥O′C，(6分)

∵OO′＝2×2＝4，

∴O′C＝＝2.(7分)

∵OC＝6，

∴△OCD周長的最小值為6＋2；(8分)

(3)存在，點E的座標為(－4，－10)或(8，－10)．(13分)

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題