問題詳情:
如圖,拋物線y=﹣x2+mx+n與x軸交於A、B兩點,與y軸交於點C,拋物線的對稱軸交x軸於點D,已知A(﹣1,0),C(0,2).
(1)求拋物線的表達式;
(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使△PCD是以CD為腰的等腰三角形?如果存在,直接寫出P點的座標;如果不存在,請説明理由;
(3)點E是線段BC上的一個動點,過點E作x軸的垂線與拋物線相交於點F,當點E運動到什麼位置時,四邊形CDBF的面積最大?求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的座標
【回答】
【考點】HF:二次函數綜合題.
【分析】(1)直接把A點和C點座標代入y=﹣x2+mx+n得m、n的方程組,然後解方程組求出m、n即可得到拋物線解析式;
(2)先利用拋物線對稱軸方程求出拋物線的對稱軸為直線x=﹣,則D(,0),則利用勾股定理計算出CD=,然後分類討論:如圖1,當CP=CD時,利用等腰三角形的*質易得P1(,4);當DP=DC時,易得P2(,),P3(,﹣);
(3)先根據拋物線與x軸的交點問題求出B(4,0),再利用待定係數法求出直線BC的解析式為y=﹣x+2,利用一次函數圖象上點的座標特徵和二次函數圖象上點的座標特徵,設E(x,﹣x+2)(0≤x≤4),則F(x,﹣x2+x+2),則FE=﹣x2+2x,由於△BEF和△CEF共底邊,高的和為4,則S△BCF=S△BEF+S△CEF=•4•EF=﹣x2+4x,加上S△BCD=,所以S四邊形CDBF=S△BCF+S△BCD=﹣x2+4x+(0≤x≤4),然後根據二次函數的*質求四邊形CDBF的面積最大,並得到此時E點座標.
【解答】解:(1)把A(﹣1,0),C(0,2)代入y=﹣x2+mx+n得,解得,
∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+2;
(2)存在.
拋物線的對稱軸為直線x=﹣=,
則D(,0),
∴CD===,
如圖1,當CP=CD時,則P1(,4);
當DP=DC時,則P2(,),P3(,﹣),
綜上所述,滿足條件的P點座標為(,4)或(,)或(,﹣);
(3)當y=0時,=﹣x2+x+2=0,解得x1=﹣1,x2=4,則B(4,0),
設直線BC的解析式為y=kx+b,
把B(4,0),C(0,2)代入得,解得,
∴直線BC的解析式為y=﹣x+2,
設E(x,﹣x+2)(0≤x≤4),則F(x,﹣x2+x+2),
∴FE=﹣x2+x+2﹣(﹣x+2)=﹣x2+2x,
∵S△BCF=S△BEF+S△CEF=•4•EF=2(﹣x2+2x)=﹣x2+4x,
而S△BCD=×2×(4﹣)=,
∴S四邊形CDBF=S△BCF+S△BCD
=﹣x2+4x+(0≤x≤4),
=﹣(x﹣2)2+
當x=2時,S四邊形CDBF有最大值,最大值為,此時E點座標為(2,1).
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:綜合題